16 juin 2026 — Université Galatasaray
Dans cette présentation, nous définirons la représentation et en discuterons des exemples, puis nous introduirons la catégorie de représentation pour les groupes symétriques, construirons son groupe et son anneau de Grothendieck, et examinerons des exemples.
Comptage de points entiers dans les polytopes Le travail de thèse porte sur l'étude des méthodes de comptage des points entiers dans les polytopes, de l'algorithme de Barvinok aux polynômes d'Ehrhart.
Géométrie convexe et polytopes : Les fondements géométriques sont établis : géométrie affine, ensembles convexes, représentations V et H des polytopes et leur équivalence. Il est montré que tout V-polytope est aussi un H-polytope, et réciproquement. Les notions de cône, d'enveloppe conique et de somme de Minkowski sont introduites.
Réseaux et points entiers : Le réseau entier standard $\mathbb{Z}^d$ est défini, ainsi que la fonction de comptage \[ L(P,t) = \left|tP \cap \mathbb{Z}^d\right|, \] qui mesure le nombre de points entiers dans la dilatation $tP$ d'un polytope $P$.
Théorie d'Ehrhart : Le théorème d'Ehrhart (1962) affirme que $L(P,t)$ est un polynôme en $t$ de degré $d$ pour tout polytope entier. Le vecteur $h^*$ et la réciprocité d'Ehrhart-Macdonald sont également présentés.
Vers l'algorithme de Barvinok : L'algorithme de Barvinok (1994) calcule $L(P,t)$ en temps polynomial pour une dimension fixée, en représentant $P \cap \mathbb{Z}^d$ par une fonction génératrice rationnelle courte, via une décomposition en cônes simpliciaux.
Ce projet étudie l’analyse thématique d’un corpus de 362 tweets en anglais. Après une étape de prétraitement, les tweets sont représentés sous forme numérique à l’aide de la méthode TF-IDF. Afin de réduire la dimension des données tout en conservant l’information principale, une DVS tronquée est appliquée. Les tweets sont ensuite regroupés par l’algorithme des K-moyennes. La qualité du regroupement est évaluée grâce au score de silhouette, qui conduit au choix de quatre composantes principales. Les résultats obtenus permettent d’identifier automatiquement plusieurs thématiques présentes dans le corpus.
Dans ce projet, nous étudions comment les outils de la Théorème Spectral peuvent être utilisés pour analyser des matrices de grande dimension. L'objectif est de comprendre comment obtenir une approximation de rang faible d'une image numérique tout en minimisant la perte d'information.
• La motivation du travail sera présentée. • Le cadre théorique sera introduit. • Le théorème spectral sera présenté. • La SVD sera expliquée. • Le quotient de Rayleigh sera présenté. • L’approximation de rang sera introduite. • Le théorème d’Eckart-Young sera présenté. • Une application de compression d’image sera montrée.
Ce projet présente les bases de la logique comme méthode pour trouver la vraie connaissance. J'y analyse la syntaxe et la sémantique de la logique propositionnelle et de la logique du premier ordre. Dans un premier temps, j'explique les règles d'inférence et la déduction naturelle, avec les preuves des théorèmes d'adéquation et de complétude. Ensuite, j'applique cette base formelle à l'Arithmétique de Peano (PA). Le point final de mon travail est le premier théorème d'incomplétude de Gödel. Je détaille ce concept à l'aide de la numérotation de Gödel, des fonctions primitives récursives et du lemme de diagonalisation. En conclusion, je montre que tout système formel cohérent qui contient l'Arithmétique de Peano possède forcément une formule vraie mais indémontrable, ce qui illustre bien les limites des systèmes formels.
Ce projet explore le problème de la prédiction de liens dans les réseaux complexes : étant donné un instantané d'un réseau social modélisé par un graphe $G = (V, E)$, il s'agit d'inférer quelles nouvelles connexions sont susceptibles de se former à l'avenir. Après avoir établi les fondements théoriques nécessaires --- degrés, connectivité, Théorème de Mantel ---, nous analysons plusieurs indices heuristiques basés sur la topologie locale, notamment les Voisins Communs (CN), l'indice Adamic-Adar (AA), l'Allocation de Ressources (RA) et le Local Path (LP).
L'évaluation expérimentale est conduite sur le réseau ego-Facebook (SNAP, 4 039 sommets, 88 234 arêtes) à l'aide de la métrique AUC-ROC, et montre que les méthodes de voisinage local atteignent des performances quasi-parfaites ($\text{AUC} > 0{,}99$), l'indice RA se révélant le plus robuste dans ce réseau hétérogène à distribution en loi de puissance.
Ces résultats sont confirmés par une hybridation avec un modèle Random Forest, dont l'analyse de l'importance des caractéristiques désigne RA comme le signal prédictif dominant, validant ainsi algorithmiquement la suprématie de la pénalisation linéaire des hubs.
Ce mémoire établit une modélisation rigoureuse de l'espace harmonique occidental en s'affranchissant des hiérarchies tonales classiques via l'algèbre abstraite et la topologie. En formalisant les classes de hauteurs par l'anneau tempéré $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$, nous démontrons l'existence d'un isomorphisme strict entre le groupe des transformations musicales et le groupe diédral $D_{24}$. Cette base algébrique permet d'analyser formellement l'action du groupe néo-riemannien PLR sur l'orbite des triades, traduisant le principe géométrique de la conduite des voix par des bijections à déplacement minimal. Ces relations structurelles sont ensuite projetées géométriquement pour construire le Tonnetz, défini ici comme un complexe simplicial régulier engendré par les intervalles fondamentaux. Enfin, par l'étude du quotient topologique lié à la périodicité de l'arithmétique modulaire, nous prouvons que ce réseau infini se referme sur lui-même. L'espace musical se révèle alors non plus comme un système polarisé par un centre tonal, mais comme une variété géométrique continue possédant la topologie compacte d'un tore ($T^2$).
Cette étude examine comment des règles mathématiques simples peuvent transformer des dynamiques complexes, telles que celles des populations et des épidémies, en chaos, en utilisant des modèles discrets. Le temps discret a été préféré aux modèles continus car il reflète mieux les retards de réaction naturels, comme la période d'incubation, et permet d'expliquer les oscillations. En établissant des modèles linéaires et logistiques limités par les ressources, les comportements stables ou oscillants du système ont été analysés avec la méthode graphique du "Cobwebbing". Il a été démontré que lorsque la pression reproductive dépasse un certain seuil, le système perd son équilibre et plonge dans le chaos en passant par une cascade de bifurcations. Cette base mathématique a ensuite été adaptée à un modèle épidémiologique SIS en la combinant avec la fonction de Ricker, qui empêche mathématiquement d'avoir des populations négatives. Ce modèle a été testé sur les données réelles de la COVID-19 en Turquie, où le bruit administratif des hôpitaux a été filtré à l'aide d'une moyenne mobile de 7 jours. L'analyse de l'espace des phases a révélé que le système ne se stabilise jamais sur un point fixe, mais forme plutôt des boucles cycliques permanentes qui reflètent la nature chaotique et retardée de la pandémie. En conclusion, il a été prouvé que les modèles discrets constituent un outil très puissant pour analyser les dynamiques complexes créées par une forte compétition et pour expliquer mathématiquement les vagues successives de la COVID-19 en Turquie.
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\smallUniversité de Galatasaray --- 13 juin 2026
Ce travail présente notre Projet de Fin d'Études (PFE) sur l'Analyse Topologique des Données (TDA) et les Signaux d'Alerte Précoce des Crises Financières. Aujourd'hui, les modèles classiques ont du mal à prédire les crises à cause de la complexité des marchés. Pour résoudre ce problème, ce projet propose une méthode géométrique. L'idée est de détecter les changements invisibles et le découplage des indices boursiers avant que les prix ne chutent brutalement. Nous avons testé cette approche sur la crise de 2008, puis nous l'avons appliquée sur la période récente de 2025-2026.
1. Préparation des Données et Méthodologie Topologique
Pour commencer, nous utilisons les prix de clôture ajustés ($P_t$) de quatre indices majeurs : DJIA, S&P 500, NASDAQ et Russell 2000 (RUT). Nous transformons ces données brutes en log-rendements avec la formule $r_t = \ln(P_t/P_{t-1})$. Ensuite, nous calculons les $Z$-scores pour normaliser les données :
Z = \frac{r - \mu}{\sigma}
Chaque jour devient ainsi un vecteur dans l'espace $\mathbb{R}^4$. Avec une méthode de fenêtre glissante (taille $w = 50$ jours, incrément $s = 1$ jour), nous créons des nuages de points dynamiques. Pour éviter les erreurs d'anticipation, nous alignons strictement le temps sur la date de fin de la fenêtre.
Sur ces nuages de points, nous appliquons une filtration de Vietoris-Rips en augmentant un paramètre d'échelle $\epsilon$. Grâce à la bibliothèque GUDHI, nous calculons l'homologie persistante pour trouver la signature topologique du marché. Nous étudions principalement les composantes connexes ($H_0$) et les cycles ou vides unidimensionnels ($H_1$).
2. Analyse de la Crise de 2008
L'analyse du nuage de points réel en 2008 (Jour 500) montre bien comment le complexe simplicial évolue quand $\epsilon$ augmente :
• À $\epsilon = 0.5$, les points sont isolés et les premières arêtes ne sont que du bruit. • À $\epsilon = 1.2$, les points commencent à se connecter et les composantes fusionnent ($H_0$). • À $\epsilon = 2.0$, de grandes boucles denses ($H_1$) apparaissent, ce qui montre les vides macroéconomiques. • À $\epsilon = 3.5$, le nuage de points est saturé et les espaces vides se comblent.
En comparant un marché calme (2007) et un marché en crise (2008), la différence est claire : le marché calme est dense et centré, tandis que le marché en crise montre une dispersion violente et des vides persistants ($H_1$).
Pendant la faillite de Lehman Brothers, les points bleus ($H_1$) sur les diagrammes de persistance s'éloignent fortement de la diagonale. Pour mesurer ce changement, nous calculons la distance de Wasserstein ($W_2$) :
\mathcal{W}_{2}(D_{ref},D_{t})=\left(\inf_{\gamma}\sum_{x\in D_{ref}}||x-\gamma(x)|_{\in 2}^{2}\right)^{1/2}
Nous transformons aussi le diagramme en une fonction continue appelée Paysage de Persistance $\lambda(t) = \max(0, \min(t-b, d-t))$. Enfin, la norme $L^1$ (l'indicateur de Gidea & Katz) calcule l'aire totale de ce paysage :
||\lambda||_{1}=\sum_{i}|\lambda(t_{i})|
Le résultat le plus important est que cet indicateur donne un signal d'alerte clair environ 250 jours de bourse avant les krachs.
3. Application à la Période Récente (2025-2026)
Nous avons appliqué le même pipeline sur la période 2025-2026, et nous observons une évolution géométrique intéressante. En mars 2025, la forme du marché montre une large dispersion sur l'axe PC1, ce qui traduit une forte volatilité. Au slippery, en mai 2026, les points forment un cluster plus serré et centralisé. Cette réduction du diamètre topologique montre que le marché est entré dans une phase de stabilisation.
Sur le plan quantitatif, la distance de Wasserstein ($W_1$) entre 2025 et mai 2026 est de 0.513949. Cela signifie que les vides structurels ont bougé de plus d'un demi-écart-type en moyenne. L'indice de risque topologique (Norme $L^1$) confirme aussi cette tendance en diminuant après les corrections de 2025.
\textbf{4. Conclusions et
Titre de présentation : Analyse Mathématique des Modèles Continus pour les Populations qui s'interactent La présentation introduit d'abord l'origine du modèle de Lotka-Volterra avant de définir le système. Pour analyser les populations qui s'interactent dans le plan de phase, elle explique la méthode d'élimination de la variable $t$ et donne la définition du point d'équilibre. Afin d'étudier le système au voisinage de ces points, la linéarisation est expliquée et la matrice Jacobienne est introduite. Le rôle des valeurs propres de matrica Jacobienne nous dit que la stabilité et la classification géométrique. Cette base théorique est finalement appliquée au modèle de Lotka-Volterra et la presentation se termine par un bilan et des
Modèles continus de dynamique des populations On présente les modèles continus de population à travers le prisme des équations différentielles ordinaires. On commence par le modèle exponentiel de Malthus, où la population croît sans limite, puis on introduit le modèle logistique de Verhulst qui tient compte de la capacité de charge $K$ du milieu. Ce modèle est ensuite appliqué à l'épidémiologie via le modèle SIS, où l'on montre que la dynamique de propagation d'une maladie se réduit à une équation logistique gouvernée par le nombre de reproduction $R_0$. On étudie également l'effet de la récolte sur une population, en distinguant la récolte à rendement constant et à effort constant, et en identifiant le seuil critique $H_c = rK/4$ au-delà duquel la population s'effondre. Enfin, l'eutrophisation du lac Mendota illustre ces structures mathématiques dans un contexte réel, en mettant en évidence le phénomène d'hystérésis : un apport excessif de phosphore peut faire basculer un lac propre vers un état eutrophe dont il est très difficile de revenir.
On commence par définir le concept de module. On explique les syzygies qui sont les relations entre les générateurs d'un module. On montre comment calculer ces syzygies avec un exemple simple. On explique aussi le S-polynôme, qui sert à créer des relations en annulant les termes dominants. Grâce au théorème de Schreyer, on trouve facilement les générateurs du module des syzygies. Enfin, cette méthode permet de construire une résolution libre, c'est-à-dire une suite de modules libres.
Cette présentation étudie les solutions de l'équation du transport en les visualisant géométriquement comme des surfaces en trois dimensions ($\mathbb{R}^3$). Notre but principal est de comprendre les formes fondamentales et les courbures de l'équation du transport. Pour cela, nous utilisons des outils de géométrie différentielle, notamment l'opérateur de Weingarten et ses valeurs\ vecteurs propes. Et dans la présentation on explique tous ces outils. In fine on trouve que la courbure Gauss de la surface de l'équation du transport est 0 et la courbure moyenne est non nulle. Et on explique le sens géomérique de ces resultats.
Cette présentation aborde l'étude analytique du problème restreint des trois corps, où l'ajout d'un troisième corps de masse négligeable rend le système théoriquement insoluble dans le cas général.
Elle définit d'abord le système dans un référentiel tournant en utilisant des unités normalisées et en intégrant les forces centrifuge et de Coriolis au champ gravitationnel pour établir le potentiel effectif. En cherchant les extremums de ce potentiel, l'étude démontre l'existence des points triangulaires (L4 et L5) qui forment un triangle équilatéral avec les deux masses principales.
De plus, le document prouve rigoureusement l'existence des trois points colinéaires (L1, L2 et L3) situés sur l'axe principal, en résolvant les équations via des changements de variables et des développements en série de Taylor.
L'analyse se poursuit ensuite avec la théorie de la stabilité dynamique basée sur l'évaluation des valeurs propres de la matrice de perturbation linéarisée. Il en ressort que les points colinéaires sont intrinsèquement instables, tandis que les points triangulaires sont stabilisés par l'effet gyroscopique de Coriolis à condition que le rapport des masses principales soit supérieur à 25.
Ces fondements mathématiques sont finalement illustrés par des applications spatiales concrètes, telles que le positionnement du télescope James Webb au point instable L2 ou la présence naturelle des astéroïdes troyens aux points stables L4 et L5.
En conclusion, le travail souligne que ce modèle idéalisé offre une base extrêmement robuste et indispensable pour concevoir les missions interplanétaires contemporaines.
Ce projet utilise la théorie des graphes pour analyser les marchés financiers pendant une crise. D'abord, nous avons transformé les données de prix en distances mathématiques pour créer un graphe pondéré.
Ensuite, pour filtrer le bruit et trouver les liens les plus importants, nous avons utilisé l'algorithme de l'Arbre Couvrant de Poids Minimum (ACPM). En appliquant cette méthode mathématique sur trois périodes, nous voyons clairement le changement : le marché, d'abord bien organisé par secteurs, devient une simple chaîne totalement dépendante de l'Euro.
Cela prouve que la théorie des graphes est un outil très direct et utile pour simplifier et comprendre des données complexes.
Titre de présentation: Représentation d'algèbre de Lie
Dans cette présentation, nous visons à étudier les représentations irréductibles de dimension finie ainsi que les structures des algèbres de Lie de type $A$, à savoir $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$. Après avoir introduit quelques concepts fondamentaux, nous préciserons la structure géométrique et la nature des espaces des représentations irréductibles de dimension finie de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Ensuite, en nous appuyant sur ces structures, nous construirons les représentations irréductibles de dimension finie de $\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ afin de déterminer les espaces dans lesquels elles se réalisent. Enfin, nous montrerons comment cette même logique se généralise à $\mathfrak{sl}_4(\mathbb{C})$ et $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$, et nous donnerons leurs espaces de réalisation. Tout au long de cet exposé, nous nous appuyons largement sur des arguments géométriques et combinatoires.
Ce projet présente le cadre théorique des séries temporelles et introduit les modèles classiques utilisés pour leur analyse.
Notre question principale est la suivante : qu’est-ce qu’une série temporelle, comment l’étudie-t-on et comment la prédit-on ? Dans ce contexte,
une série temporelle est étudiée comme l’occurrence d’un processus stochastique où la séquence temporelle des observations contient des informations importantes.
L’idée fondamentale de cette étude est la dépendance temporelle: les valeurs passées peuvent aider à comprendre ou à prédire les valeurs futures.
Pour appliquer les modèles classiques, il est d’abord nécessaire d’examiner la stationnarité, c’est-à-dire la stabilité de la moyenne, de la variance et de la dépendance au fil du temps.
Les fonctions d’autocorrélation (ACF) et d’autocorrélation partielle (PACF) nous permettent de déterminer la structure de dépendance et de proposer des modèles candidats.
Les modèles AR, MA, ARMA et ARIMA définissent cette dépendance à partir des valeurs passées, des chocs passés ou en combinant ces deux approches.
Enfin, le modèle doit être validé par une analyse des résidus ; cette analyse doit se rapprocher d’un bruit blanc pour montrer qu’aucune structure prévisible ne subsiste.
• Présentation du problème de détection de communautés dans les graphes et de son intérêt pour l’analyse des réseaux réels.
• Introduction des notions de graphe, de communauté et de modularité comme critère d’évaluation de la qualité d’une partition.
• Description de l’algorithme de Louvain à travers ses deux phases principales : optimisation locale et agrégation des communautés.
• Présentation de l’algorithme de Leiden et de sa phase de raffinement permettant d’améliorer la connectivité interne des communautés détectées.
• Application des deux algorithmes au réseau réel com-Amazon pour deux valeurs du paramètre de résolution ($\gamma=1.0$ et $\gamma=1.5$).
• Comparaison quantitative des résultats obtenus (nombre de communautés et modularité) ainsi qu’analyse visuelle des partitions à l’aide de Gephi.
• Conclusion sur l’influence du paramètre de résolution et sur les différences observées entre Louvain et Leiden.
Ce projet étudie les réseaux de neurones à valeurs complexes (CVNN) comme une alternative aux réseaux à valeurs réelles (RVNN) pour des données naturellement complexes, en particulier les signaux I/Q. L’idée principale est que les CVNN respectent mieux la structure amplitude--phase des signaux grâce au couplage algébrique entre les parties réelle et imaginaire. Le travail présente d’abord les limites des RVNN dans ce contexte, puis introduit les fondements mathématiques nécessaires, notamment le calcul de Wirtinger et l’utilisation de fonctions d’activation non-holomorphes comme la CReLU. Une validation expérimentale est ensuite menée sur le jeu de données RadioML 2016.10A, en comparant un RVNN standard, un CVNN avec normalisation séparée et un CVNN avec normalisation complexe par covariance. Les résultats montrent un avantage modéré mais cohérent des architectures complexes, tout en soulignant leur coût computationnel plus élevé.
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\largeLa loi d'addition sur les courbes elliptiques
\normalsize Yusuf Atabey
Cette présentation explore la structure de la loi d'addition sur les courbes elliptiques. Après un rappel sur les courbes planes rationnelles et les singularités, nous introduisons la forme de Weierstrass. Le passage à l'espace projectif permet de définir le point à l'infini $\mathcal{O}$ comme élément neutre. Nous construisons ensuite géométriquement l'addition par la méthode des sécantes et tangentes. L'exposé culmine avec l'application du lemme de Bézout pour prouver l'associativité, démontrant ainsi que $(C(\mathbb{Q}), +)$ forme un groupe abélien.
Ce travail présente la transformée de Fourier discrète sur certains groupes finis, notamment les groupes cycliques et diédraux. Après un rappel des notions fondamentales de théorie des représentations et des caractères, nous étudions la décomposition des représentations en composantes irréductibles. Nous introduisons ensuite la transformée de Fourier sur les groupes finis et montrons son lien avec les caractères irréductibles. Enfin, nous appliquons ces résultats aux groupes cycliques et diédraux afin d'illustrer explicitement le calcul des coefficients de Fourier et la structure des représentations associées.
Dans mon présentation, j'introduis les concepts fondamentaux des algèbres amassées. Je débute par la définition d'un carquois, un graphe orienté $Q=(Q_0,Q_1)$, en me concentrant sur les carquois de type $A_n$. J'explique ensuite l'opération de mutation sur un sommet, qui modifie la structure du carquois en trois étapes. Je montre comment, à partir d'une graine initiale, ces mutations successives engendrent l'algèbre amassée $A(Q)$. Je souligne le théorème de Fomin-Zelevinsky, affirmant que toute variable d'amas est un polynôme de Laurent, et je précise que les algèbres de type $A_n$ sont de type fini avec $\frac{n(n+3)}{2}$ variables. J'introduis également le concept de variable gelée pour illustrer la décomposition des algèbres. Enfin, j'expose l'objectif de mon projet : étudier l'influence du carquois sur la géométrie et les singularités de la variété affine $X_Q=Spec(A(Q))$.
Ce mémoire établit la formulation mathématique rigoureuse et l'implémentation à l'échelle industrielle de la Valeur à Risque Conditionnelle (CVaR). Face aux défaillances axiomatiques de la VaR, nous exploitons l'approche variationnelle de Rockafellar-Uryasev. Notre contribution théorique majeure est la dérivation de la représentation duale robuste sans postuler de normalisation a priori : la contrainte $\mathbb{E}[\zeta]=1$ émerge structurellement via le théorème minimax de Sion, éliminant ainsi toute circularité logique. Sur le plan computationnel, ce modèle est transposé en un programme linéaire massif. L'intégration d'une architecture de matrices creuses (CSC) couplée au solveur HiGHS réduit la complexité spatiale de $\mathcal{O}(J^2)$ à $\mathcal{O}(J)$. Cette ingénierie aboutit à une certification numérique où l'écart primal-dual plafonne à la précision machine ($10^{-15}$). L'application empirique sur l'indice S&P 500 confirme enfin la capacité du modèle à capturer les risques extrêmes (krach de la COVID-19) ignorés par la VaR.
Dans cette présentation, j'introduirai les notions de carquois, de représentation de carquois et de carquois de réseau. Je définirai ensuite les réseaux de neurones polynomiaux ainsi que leur fonction de réseau. Je présenterai l’application de paramétrage qui associe à chaque choix de paramètres la fonction réalisée par le réseau. Dans le cas des réseaux homogènes, je montrerai comment cette application permet de définir une neurovariété comme la fermeture de Zariski de son image. J'étudierai ensuite plusieurs exemples afin d’analyser les phénomènes de redondance et de minimalité des architectures. En particulier, j'examinerai l’architecture de largeur (2,2,1) et les simplifications possibles selon les degrés d’activation. Enfin, je mettrai en évidence que les neurovariétés fournissent une interprétation géométrique des fonctions réalisables par les réseaux de neurones polynomiaux et qu’elles constituent un lien naturel entre la théorie des représentations, la géométrie algébrique et l’apprentissage automatique.
Ce projet de fin d'études propose une analyse mathématique rigoureuse des risques financiers en s'affranchissant des limites de l'hypothèse gaussienne. Pour capturer la dynamique complexe d'un portefeuille technologique, nous modélisons l'hétéroscédasticité conditionnelle via un processus GARCH(1,1) et quantifions le comportement asymptotique des pertes extrêmes grâce à la Théorie des Valeurs Extrêmes. Enfin, en s'appuyant sur les axiomes de cohérence et les normes prudentielles de Bâle IV, nous calculons l'Expected Shortfall . Nos résultats démontrent mathématiquement le "déficit de prudence" de la Value-at-Risk traditionnelle et justifient l'optimisation du capital face aux chocs systémiques.
\paragraph{} Ce travail étudie l’impact du mécanisme d’attention sur la dynamique d’apprentissage des réseaux neuronaux profonds. Une analyse théorique est menée à partir des propriétés des jacobiens, des connexions résiduelles et des matrices d’attention afin d’expliquer leur influence sur la stabilité du gradient. Cette étude est complétée par une comparaison expérimentale entre un perceptron multicouche et un Transformer simplifié sur le jeu de données MNIST. Les résultats montrent que l’attention favorise une propagation plus stable du gradient, tandis que les gains de performance restent limités dans le cadre particulier d’un jeu de données simple comme MNIST.
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[1cm]
Ce projet étudie l’équation de Black–Scholes, modèle fondamental de la finance mathématique pour la valorisation des options européennes. Après une transformation logarithmique appropriée, l’équation est analysée selon deux approches indépendantes. La première consiste à la ramener à l’équation de la chaleur et à construire sa solution à l’aide de la fonction de Green et du noyau gaussien. La seconde repose sur une formulation hamiltonienne inspirée de la mécanique classique, permettant de construire le propagateur à partir de la trajectoire et de l’action classiques. Les calculs conduisent à une expression explicite du noyau fondamental dans les deux cas. Le résultat principal du projet est la démonstration que ces deux propagateurs coïncident exactement.
{\large\bfseries Résumé de la présentation}
[0.3em]
{\itshape Réseaux de neurones sur graphes (GNN)}
[0.2em]
Sevde Öztürk
Ce projet porte sur les réseaux de neurones sur graphes (GNN), conçus pour appliquer l'apprentissage profond à des données irrégulières comme les réseaux sociaux, les molécules ou les réseaux de citations, que les CNN et les RNN ne savent pas traiter directement. L'idée centrale est le passage de messages : chaque nœud agrège l'information de ses voisins, puis met à jour sa propre représentation, et l'on répète l'opération plusieurs fois. À partir de ce cadre, on retrouve le modèle le plus connu, le GCN, qui apparaît de deux façons : comme une moyenne des voisins (vue spatiale) et comme un filtre simplifié issu de la théorie spectrale (vue spectrale) ; ce pont entre les deux approches constitue le cœur du travail. Les modèles sont ensuite validés sur le jeu de données Cora : le GCN atteint environ 80 % contre 54 % pour un modèle qui ignore la structure du graphe, ce qui montre l'apport de la topologie. Le projet analyse enfin le sur-lissage, une limite des réseaux trop profonds, et montre que les connexions de saut permettent de l'atténuer.
Ce travail propose un cadre fondé sur la topologie algébrique pour détecter des anomalies dans les réseaux blockchain. Les graphes, limités aux relations bilatérales, ne représentent pas les transactions multi-parties ; nous les modélisons par des complexes simpliciaux, où une transaction à $n$ parties devient un $(n{-}1)$-simplexe. La non-trivialité de $H_1(K)$ signale alors un cycle d'échanges bilatéraux jamais complété par une transaction globale : un indicateur de rupture potentielle d'atomicité. Enfin, l'ordre chronologique des transactions définit une filtration temporelle, et l'homologie persistante mesure, par la longueur des intervalles de persistance, la durée de ces ruptures.
Ce projet étudie l’influence des matrices MDS sur la diffusion dans le chiffrement de Hill. Une matrice inversible non-MDS est comparée à une matrice MDS construite par la méthode de Cauchy dans Z/29Z. L’application expérimentale mesure l’effet de la modification d’un seul symbole du texte clair. Les résultats montrent que l’inversibilité seule ne garantit pas une bonne diffusion. La matrice MDS atteint une diffusion complète de 100 %, contre 35,76 % pour la matrice non-MDS.
Ce projet de fin d'études a pour but de développer un système de recommandation d'hôtels avec les nombreuses données de Yelp. Cependant, il manquait beaucoup d'informations dans ces bases, ce qui créait un grave problème de sparsité. Pour résoudre ce défaut, nous avons successivement utilisé quatre méthodes différentes. Nous avons appliqué la DVS classique en remplaçant les vides par des zéros, la DVS avec des moyennes, et l'algorithme FunkSVD de Netflix entraîné par SGD. Au début, notre modèle de base en Python prenait beaucoup trop de temps à fonctionner. Nous avons donc intégré la bibliothèque Numba pour faire une compilation très rapide (JIT) et accélérer le programme. Les tests finaux montrent des performances vraiment remarquables pour ce nouveau système. En effet, le temps de calcul a diminué de 503 à 0,39 seconde, tout en gardant une excellente précision (RMSE de 1,0506) et une mémoire minimale (6,27 Mb).